Question

已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x_n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x₈）+f（x₉）+f（x₁₀）+f（x₁₁）=0．则x₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：根据条件关系求出数列的首项以及通项公式即可得到结论．

解答： 解：设x₈=a，则x₉=a+2，x₁₀=a+4，x₁₁=a+6，
∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，
且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），
∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．
∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．
∴f（a+3）=0=f（0），
即a+3=0．
∴x₈=-3．
设数列{x_n}通项x_n=x₁+2（n-1）．
∴x₈=x₁+14=-3．
∴x₁=-17．
∴通项x_n=2n-19．
∴x₂₀₁₄=2×2014-19=4009．
故答案为：4009．

点评：本题考查数列的性质和应用，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．