Question

设f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，定义：若f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的对称中心．有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：设g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，则
（1）函数g（x）的对称中心为

 

；
（2）g（

1

2015

）+g（

2

2015

）+g（

3

2015

）+…+g（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：（1）根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x的值，由此求得函数g（x）的对称中心．
（2）由导函数的导函数等于0求出x的值，可得g（x₀）+f（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2，从而得到g（

1

2015

）+g（

2

2015

）+g（

3

2015

）+…+g（

2014

2015

）的值．

解答： 解：（1）∵g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，
又g′（x）=x²-x+3，g″（x）=2x-1，
令g″（x）=0得x=

1

2

，∴g（

1

2

）=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+3×

1

2

-

5

12

=1
故函数g（x）的对称中心为（

1

2

，1）．
（2）设P（x₀，y₀）在g（x）上可知P关于对称点（

1

2

，1）的对称点g（1-x₀，2-y₀）也在函数g（x）上，
∴g（1-x₀）=2-y₀
∴g（x₀）+g（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2，
∵g（

1

2015

）+g（

2

2015

）+…+g（

2014

2015

）
=[g（

1

2015

）+g（

2014

2015

）]+…+[g（

2007

2015

）+g（

2008

2015

）]=2×1007=2014．

点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题．