Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时的解析式为f（x）=-4^x+a•2^x（a∈R）．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）若f（x）在[0，1]上的最大值h（a），
    ①求h（a）的解析式；         
    ②求满足不等式h（a）≥1的a取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，由已知表达式可求得f（-x），根据偶函数的性质可得f（x）=f（-x），从而得到答案；
（2）令t=2^x，则t∈[1，2]，则原函数变为关于t的二次函数，按照对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论即可求得最大值h（a）．

解答： 解：（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
又f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
故f（x）=-2^-2x+a•2^-x，x∈[-1，0]．
（2）∵f（x）=-2^2x+a•2^x，x∈[0，1]．令t=2^x，则t∈[1，2]，
∴g（t）=at-t²=-(t-

a

2

)2+

a2

4

，
①当

a

2

＜1时，即 a＞2，得到h（a）=g（1）=a-1
②当1≤

a

2

≤2时，即 2≤a≤4，得到h(a)=g(

a

2

)=

a2

4

，
③当

a

2

＞2，即a＞4，得到h（a）=g（2）=2a-4，
∴h(a)=

a-1  ，a＞2 a2 4   ，2≤a≤4 2a-4  ，a＞4

，
下面对a的取值情形进行讨论：
①当a＞2，得到h（a）=g（1）=a-1≥1，
解得a≥2，
此时，a＞2，
②当 2≤a≤4，得到h(a)=g(

a

2

)=

a2

4

≥1，
解得a≥2或a≤-2，
此时，2≤a≤4，
③当a＞4，得到h（a）=g（2）=2a-4≥1，
解得a＞

5

2

，
此时，a＞4，
综上，a的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题重点考查二次函数的性质、最值，换元法和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．