Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²+a_n，求证

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：将a_n+1=a_n²+a_n取倒数，后用裂项想消法化简

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

，根据题意可知数列{a_n}是正项数列．所以结论得证．

解答： 证明：∵a_n+1=a_n²+a_n，
∴

1

an+1

=

1

an2+an

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

，
又∵a₁=2，a_n+1=a_n²+a_n，
∴a_n＞0，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=

1

2

-

1

an+1

＜

1

2

．

点评：本题考查递推公式的应用和裂项项消法的灵活应用，属于中档题．