Question

已知f（x）=x²+ax+3
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈（-∞，1）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）依题意知，x²+ax+3-a≥0对任意x∈R恒成立，由△≤0即可求得实数a的取值范围；
（2）方法一：设g（x）=x²+ax+3-a，依题意知△≤0或

△＞0 - a 2 ＞1 g(1)≥0

，分别解之即可；
方法二：依题意知a≤

x2+3

1-x

对任意x∈（-∞，1）恒成立，而

x2+3

1-x

=（1-x）+

4

1-x

-2，利用基本不等式即可求得实数a的范围．

解答： 解：（1）∵x²+ax+3-a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△=a²-4（3-a）≤0，解得-6≤a≤2，
∴a的范围是{a|-6≤a≤2}．
（2）∵x²+ax+3-a≥0对任意x∈（-∞，1）恒成立，
方法一：设g（x）=x²+ax+3-a，则△≤0或

△＞0 - a 2 ＞1 g(1)≥0

，
即：a²-4（3-a）≤0或

a2-4(3-a)＞0 - a 2 ＞1 1+a+3-a≥0

，
解得：-6≤a≤2或a＜-6⇒a≤2．
∴实数a的范围是{a|a≤2}．
方法二：即a≤

x2+3

1-x

对任意x∈（-∞，1）恒成立，
∵1-x＞0，
而

x2+3

1-x

=（1-x）+

4

1-x

-2≥2

4

-2=2，当且仅当x=-1时取等号．
∴实数a的范围是{a|a≤2}．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与构造函数思想、考查基本不等式的应用与运算求解能力，属于难题．