Question

已知函数f（x）满足f（x）=log_a

3-x

3+x

（a＞0且a≠1），证明当a＞1时函数f（x）在其定义域内是单调递增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，求解函数的定义域，然后，任设两个自变量，比较它们对应的函数值的大小，最后得到结论．

解答： 解：据题，

3-x

3+x

＞0，
解得-3＜x＜3，
∴函数的定义域为（-3，3），
下面证明当a＞1时函数f（x）在其定义域内是单调递增函数．
任设x₁，x₂∈（-3，3），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=loga

3-x1

3+x1

-loga

3-x2

3+x2

∴f（x₁）-f（x₂）
=loga(

3-x1

3-x2

•

3+x2

3+x1

)
∵-3＜x₁＜x₂＜3，
∴-x₁＞-x₂，∴3-x₁＞3-x₂＞0，
3+x₂＞3+x₁，
∴

3-x1

3-x2

＞1 ，  

3+x2

3+x1

＞1，
∵a＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
当a＞1时函数f（x）在其定义域内是单调递增函数．

点评：本题重点考查对数函数的定义域求解方法，分式不等式的解法，函数的单调性的应用等知识，属于中档题．