Question

已知椭圆的焦距是8，椭圆上任意一点到两焦点F₁、F₂的距离之和为10．
（1）求椭圆方程；
（2）在（1）的椭圆上求一点P，使PF₁⊥PF₂．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件结合椭圆定义知2c=8，2a=10，由此能求出椭圆方程．
（2）当P在椭圆上，且PF₁⊥PF₂时，S△PF1F2=b²tan45°，由此能求出P点坐标．

解答： 解：（1）椭圆的焦距是8，椭圆上任意一点到两焦点F₁、F₂的距离之和为10，
∴2c=8，2a=10，即c=4，a=5，
∴b=

25-16

=3，
∴椭圆方程为

x2

25

+

y2

9

=1或

x2

9

+

y2

25

=1．
（2）当P在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上，且PF₁⊥PF₂时，
S△PF1F2=b²tan45°=9，
设P点纵坐标为y，
∵S△PF1F2=

1

2

|PF1F2||y|=c|y|=4|y|=9，
∴y=±

9

4

，把y=±

9

4

代入椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，解得x=±

5 7

4

．
∴P点坐标为（

5 7

4

，

9

4

）或（

5 7

4

，-

9

4

）或（-

5 7

4

，

9

4

）或（-

5 7

4

，-

9

4

）．
当P在椭圆

x2

9

+

y2

25

=1上，且PF₁⊥PF₂时，
S△PF1F2=b²tan45°=9，
设P点纵坐标为x，
∵S△PF1F2=

1

2

|F₁F₂||x|=c|x|=4|x|=9，
∴x=±

9

4

，把x=±

9

4

代入椭圆

x2

9

+

y2

25

=1，解得y=±

5 7

4

．
∴P点坐标为（

9

4

，

5 7

4

）或（

9

4

，-

5 7

4

）或（-

9

4

，

5 7

4

）或（-

9

4

，-

5 7

4

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆上指定点的坐标的求法，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．