Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，且当n≥2时，a_n-2ⁿ-2a_n-1=0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出

an

2n

=1+

an-1

2n-1

，

a1

2

=1，从而得到{

an

2n

}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：∵a₁=2，且当n≥2时，a_n-2ⁿ-2a_n-1=0，
∴a_n=2ⁿ+2a_n-1，
∴

an

2n

=1+

an-1

2n-1

，

a1

2

=1，
∴{

an

2n

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

an

2n

=1+（n-1）=n，
∴数列{a_n}的通项公式an=n•2n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．