Question

设函数f（x）=x+a

1-x

(a∈R)．
（1）若a=1，求f（x）的值域；
（2）若不等式f（x）≤2对x∈[-8，-3]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若a=1，利用换元法将函数转化为二次函数形式，即可求f（x）的值域；
（2）利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=x+

1-x

，（x≤1），
令t=

1-x

，则t≥0，
则x=1-t²，
∴y=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

，
∵t≥0，
∴y≤

5

4

，
函数f（x）的值域是（-∞，

5

4

]．
（2）令t=

1-x

，x∈[-8，-3]，则x=1-t²，2≤t≤3，
则y=1-t²+at，
若不等式f（x）≤2对x∈[-8，-3]恒成立，
则等价为1-t²+at≤2对t∈[2，3]恒成立，
即a≤t+

1

t

对t∈[2，3]恒成立，
令g（t）=t+

1

t

，t∈[2，3]，
 则函数g（t）在[2，3]上是一个增函数，
∴g（t）的最小值为g（2）=

5

2

，
∴a≤

5

2

，
即a的取值范围为（-∞，

5

2

]．

点评：本题主要考查函数的最值的应用，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键．