Question

（1）设x，y为正数，求(x+y)(

1

x

+

4

y

)的最小值，并写出取得最小值的条件．
（2）设a＞b＞c，若

1

a-b

+

1

b-c

≥

n

a-c

恒成立，求n的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值，并得到使代数式取得最小值的条件；
（2）由已知得到a-b，a-c，b-c的符号，两边同时乘以a-c后变式，然后利用基本不等式求最值，从而得到n的最大值．

解答： 解：（1）∵x＞0，y＞0
∴(x+y)(

1

x

+

4

y

)=1+

y

x

+

4x

y

+4≥5+2

4

=9，
当且仅当

y

x

=

4x

y

，即y=2x时取得最小值；
（2）∵a＞b＞c
∴a-b＞0，a-c＞0，b-c＞0，
∴

1

a-b

+

1

b-c

≥

n

a-c

可化为n≤(

1

a-b

+

1

b-c

)(a-c)
令t=(

1

a-b

+

1

b-c

)(a-c)
=(

1

a-b

+

1

b-c

)[(a-b)+(b-c)]
=1+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

+1≥2+2=4．
当且仅当

b-c

a-b

=

a-b

b-c

，即2b=a+c时等号成立．
∴n≤4，
∴n的最大值是4．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，解答（2）关键是对于代数式的变化，是中档题．