Question

已知f（x）=x+

1

|x|

．
（1）指出的f（x）值域；
（2）求函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数．
（3）若函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数的值域,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分当x＞0和当x＜0时两种情况，分别根据函数的解析式求得函数的值域，综合可得结论．
（2）函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数，即函数f（x）的图象和直线y=p的交点个数．结合（1）的结论，分类讨论求得结果．
（3）由题意可得，对于任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）=2mx-

m2+1

mx

＜0恒成立，再分m＞0和 m＜0两种情况，分别求得m的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）当x＞0时，f(x)=x+

1

x

≥2，当x＜0时，f(x)=x-

1

x

∈R，
所以，f（x）值域为R．
（2）函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数，
即函数f（x）的图象和直线y=p的交点个数．
由（1）可得，当x＞0时f（x）=x+

1

x

≥2．
当x＜0时f（x）=x-

1

x

，由(x-

1

x

)′=1+

1

x2

＞0，
可得f（x）在（-∞，0）上是增函数．
故当p＞2时，函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数是3．
当p=2时，函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数是2，
当p＜2时，函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数是1．
（3）显然，m≠0，函数f（x）=x-

1

x

 在[-2，-1]上是增函数，
再由不等式f（mx）+mf（x）=2mx-

m2+1

mx

＜0恒成立，可得 ①当m＞0时，
2m²x²-m²-1＞0恒成立，即 m²＞

1

2x2-1

恒成立，
而

1

2x2-1

在[-2，-1]上的最大值为1，∴m＞1．
②当m＜0时，mx＞0，可得2m²x²-m²-1＜0恒成立，即 m²＜

1

2x2-1

恒成立，
而

1

2x2-1

在[-2，-1]上的最小值为

1

7

，∴m＜

1

7

，故此时可得m＜0．
综上可得，m的范围为（-∞，0）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数零点与方程根的关系，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．