Question

已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若对于区间（0，+∞）内的任意x，总有f（x）≥0成立，求实数k的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（0，2）内有两个不同的零点x₁，x₂，求：
    ①实数k的取值范围； 
    ②

1

x1

+

1

x2

的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）≥0分离出参数k，得k≥-

|x2-1|+x2

x

，x∈（0，+∞），记g（x）=-

|x2-1|+x2

x

，则问题等价于k≥g（x）_max，由单调性可得g（x）_max；
（2）①（i）当0＜x≤1时，方程f（x）=0为一次型方程，易判断k≠0时有一解；当1＜x＜2时，方程f（x）=0为二次方程，可求得两解，易判断其一不适合，令另一解大于1小于2，可得k的范围，综合可得结论；（ii）由①易知两零点x₁，x₂，从而可表示出

1

x1

+

1

x2

，化简可得为2x₂，结合（ii）可得结论；

解答： 解：（1）f（x）≥0⇒|x²-1|+x²+kx≥0⇒k≥-

|x2-1|+x2

x

，x∈（0，+∞），
记g（x）=-

|x2-1|+x2

x

=

- 1 x ，x∈(0，1] -2x+ 1 x ，x∈(1，+∞)

，易知g（x）在（0，1]上递增，在（1，+∞）上递减，
∴g（x）_max=g（1）=-1，
∴k≥-1；
（2）①（ⅰ）0＜x≤1时，方程f（x）=0化为kx+1=0，k=0时，无解；k≠0时，x=-

1

k

；
（ⅱ）1＜x＜2时，方程f（x）=0化为2x²+kx-1=0，x=

-k± k2+8

4

，而其中

-k- k2+8

4

＜

-k-|k|

4

≤0，
故f（x）=0在区间（1，2）内至多有一解x=

-k+ k2+8

4

；
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，k≠0，且0＜x≤1时，方程f（x）=0有一解x=-

1

k

，故k≤-1；
1＜x＜2时，方程f（x）=0也仅有一解x=

-k+ k2+8

4

，令1＜

-k+ k2+8

4

＜2，得-

7

2

＜k＜-1，
∴实数k的取值范围是-

7

2

＜k＜-1；   
②方程f（x）=0的两解分别为x₁=-

1

k

，x₂=

-k+ k2+8

4

，

1

x1

+

1

x2

=-k+

4

-k+ k2+8

=-k+

k+ k2+8

2

=

-k+ k2+8

2

=2x₂∈（2，4）．

点评：本题考查二次函数的性质、函数零点及函数恒成立问题，考查转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决，函数零点则转化为方程根处理．