Question

已知{a_n}是等差数列，公差为d，首项a₁=3，前n项和为S_n．令cn=(-1)nSn(n∈N*)，{c_n}的前20项和T₂₀=330．数列{b_n}满足b_n=2（a-2）d^n-2+2^n-1，a∈R．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1≤b_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用T₂₀=330，求出公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先求出b_n，再根据b_n+1≤b_n，n∈N^*，结合函数的单调性，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
因为cn=(-1)nSn，
所以T₂₀=-S₁+S₂-S₃+S₄+…+S₂₀=330，
则a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=330…（3分）
则10(3+d)+

10×9

2

×2d=330
解得d=3
所以a_n=3+3（n-1）=3n…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知b_n=2（a-2）3^n-2+2^n-1b_n+1-b_n=2（a-2）3^n-1+2ⁿ-[2（a-2）3^n-2+2^n-1]
=4（a-2）3^n-2+2^n-1=4•3n-2[(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2]
由b_n+1≤b_n?(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2≤0?a≤2-

1

2

(

2

3

)n-2…（10分）
因为2-

1

2

(

2

3

)n-2随着n的增大而增大，
所以n=1时，2-

1

2

(

2

3

)n-2最小值为

5

4

，
所以a≤

5

4

…（12分）

点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．