Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）+kx（k为常数）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log₂（（

2

）^x+2+a）+log₂（

2

2

）^x，当f（x）=g（x）时，求实数x的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）根据f（-x）=f（x），即log2( 2-x+1)-kx=log2( 2x+1)+kx，可得（2k+1）x=0，由此求得k的值．
（2）由g（x）=f（x），可得 log2[2•(

2

)x+a]-

1

2

x=log₂（2^x+1）-

1

2

x，即 2•(

2

)x+a=2^x+1．
令t=(

2

)x＞0，则有t²-2t+1-a=0 ①，分类讨论解一元二次方程，求得t的值，可得x的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₂（2^x+1）+kx（k为常数）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即 log2( 2-x+1)-kx=log2( 2x+1)+kx，
即log2( 2x+1)-x-kx=log2( 2x+1)+kx，可得（2k+1）x=0，
∴2k+1=0，∴k=-

1

2

，f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x．
（2）∵g（x）=log₂（（

2

）^x+2+a）+log₂（

2

2

）^x=log2[2•(

2

)x+a]-

1

2

x，
f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x，
且g（x）=f（x），可得 log2[2•(

2

)x+a]-

1

2

x=log₂（2^x+1）-

1

2

x，
∴2•(

2

)x+a=2^x+1．
令t=(

2

)x＞0，则有t²-2t+1-a=0 ①，它的判别式△=4a，
当a＞0时，方程①的解为 t=1±

a

，
若0＜a＜1，1±

a

＞0，x₁=log

2

(1-

a

)，x₂=log

2

(1+

a

)．
若a=1，t=2，或 t=0（舍去），方程①的解为x=log

2

2=2．
若a＞1时，求得t=1+

a

，原方程x=log

2

(1+

a

)，
当a=0时，求得t=1，解得圆方程的解为x=0．
当a＜0时，方程①无解，原方程无解．
综上可得，当0≤a＜1时，原方程有两个解为x₁=log

2

(1-

a

)，x₂=log

2

(1+

a

)；
当a≥1时，原方程有一个解为x=log

2

(1+

a

)；当a＜0时，原方程无解．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，解对数方程，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．