Question

若椭圆上存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），P（acosθ，bsinθ），由题设条件推导出（acosθ，bsinθ）•（acosθ-a，bsinθ）=0，由此能求出椭圆离心率e的取值范围．

解答： 解：设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），P（acosθ，bsinθ），
∵θ≠90，∴不妨设0°＜θ＜90°，长轴端点A（a，0），
∵点P到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，
∴OP⊥PA，
∴（acosθ，bsinθ）•（acosθ-a，bsinθ）=0，
∴a²（cos²θ-cosθ）+b²sin²θ=0，
整理得

b2

a2

=1-e2
=

cosθ-cos2θ

sin2θ

=

cosθ(1-cosθ)

1-cos2θ

=

cosθ

1+cosθ

，
∵0°＜θ＜90°，∴0＜cosθ＜1，
∴e²=1-

cosθ

1+cosθ

=

1

1+cosθ

∈（

1

2

，1），
∴e∈（

2

2

，1）．
∴椭圆离心率e的取值范围是（

2

2

，1）．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意椭圆的参数方程的合理运用．