Question

已知椭圆x²+4y²=4，斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求弦AB长的最大值；
（2）求ABO面积的最大值及此时直线l的方程（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设l：y=x+b，代入x²+4y²=4，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出弦AB长的最大值．
（2）点O到直线l的距离d=

|b|

2

，利用均值定理推导出S_△ABO=

1

2

|AB|•d≤1，并能求出此时直线l的方程．

解答： 解：（1）设l：y=x+b，代入x²+4y²=4，
整理得5x²+8bx+4b²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

4b2-4

5

，
|AB|=

1+12

•|x₁-x₂|
=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4

5

10-2b2

．
由△＞0，得64b²-20（4b²-4）＞0，
解得b²＜5，
∴当b=0时，|AB|_max=

4 10

5

．（7分）
（2）点O到直线l的距离d=

|b|

2

，
∴S_△ABO=

1

2

|AB|•d=

2

5

(5-b2)b2

≤

2

5

•

(5-b2)+b2

2

=1，
当且仅当5-b²=b²，即b=±

10

2

时取等号，
∴（S_△ABO）_max=1，
此时l：2x-2y±

10

=0．（13分）

点评：本题考查椭圆弦长最大值的求法，考查三角形面积的最大值及共取最大值时直线方程的求法，是中档题，解题时要注意弦长公式、点到直线距离公式、均值定理等知识点的合理运用．