Question

设f（x）=x³-2x²+2x，g（x）=a（10cosx+1）
（1）求f（sinx）的值域；
（2）若?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）+g（x₂）=2成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用换元法以及函数的单调性，即可求得f（sinx）的值域；
（2）由于?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）+g（x₂）=2成立，则f（x₁）的值域是2-g（x₂）的值域的子集，对参数a分类讨论，结合函数的值域，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）令t=sinx，则t∈[-1，1]，∴f（t）=t³-2t²+2t，
∴f′（t）=3t²-4t+2=3（t-

2

3

）²+

2

3

＞0，
则函数f（t）在[-1，1]上单调递增，
∴当t=-1时，f（x）取得最小值-5，当t=1时，f（x）取得最大值1；
∴f（sinx）的值域为[-5，1]；
（2）∵f′（t）=3t²-4t+2＞0，
∴f（x）在[-1，0]上单调递增，
又f（-1）=-5，f（0）=0，则f（x）在[-1，0]上的值域为[-5，0]；
由x∈[0，

π

2

]得，1≤10cosx+1≤11，
∵?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）+g（x₂）=2成立，
∴f（x₁）的值域是2-g（x₂）的值域的子集，
当a＞0时，g（x₂）∈[a，11a]，2-g（x₂）∈[2-11a，2-a]，
∴

2-11a≤-5 2-a≥0 a＞0

，解得

7

11

≤a≤2；
当a=0时，显然不符合题意；
当a＜0时，g（x₂）∈[11a，a]，2-g（x₂）∈[2-a，2-11a]，
∴

2-a≤-5 2-11a≥0 a＜0

，无解；
综上，a的取值范围是[

7

11

，2]．

点评：本题考查利用导函数研究函数的单调性及最值，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是转化为恒成立问题加以解决，属于中档题．