Question

已知函数f（x）=-x²+8x，g（x）=x-ln（x+1）
（Ⅰ）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）是否存在实数k，对任意的x∈[0，+∞），不等式g（x）≤8kx-kf（x）恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，即可求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）利用导数将不等式恒成立转化为求函数最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，h（t）=f（t）=-t²+8t．
综上，h（t）=

-t2+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 -t2+8t，t＞4

．
（Ⅱ）∵g（x）≤8kx-kf（x），
∴不等式等价为8kx-kf（x）-g（x）≤0，
设h（x）=8kx-kf（x）-g（x）=kx²-x+ln（x+1），x≥0
则h（x）≥0在x∈[0，+∞），上恒成立，?h（x）_min≥0，
h/(x)=2kx+

1

x+1

-1=

2kx2+2kx-x

x+1

，
①k≤0时，h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）上减函数，h（x）≤h（0）=0；
∴不等式g（x）≤8kx-kf（x）不恒成立；不合题意．
②当0＜k＜

1

2

时，h/(x)=2kx+

1

x+1

-1=

2kx2+2kx-x

x+1

=

2kx(x- 1-2k 2k )

x+1

，
当x∈(0，

1-2k

2k

)时，h′（x）＜0，存在x0∈(0，

1-2k

2k

)，使h（x₀）＜h（0）=0，
∴g（x₀）＞8kx₀-kf（x₀），
∴x∈[0，+∞）不等式g（x）≤8kx-kf（x）不恒成立，
③当k≥

1

2

时，h′（x）＞0，h（x）在x∈[0，+∞）上为增函数，
∴h（x）≥h（0）=0；符合题意；
综上：存在k∈[

1

2

，+∞)对任意的x∈[0，+∞），不等式g（x）≤8kx-kf（x）恒成立．

点评：本题主要考查一元二次函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为函数最值问题是解决本题的关键．