Question

设函数f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R．
（1）求不等式f（x）≤2x的解集；
（2）如果关于x的不等式log_a2＜f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据绝对值不等式的解法即可求出不等式f（x）≤2x的解集；
（2）求出函数f（x）的最值，将不等式恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：设函数f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R．
（1）若当x≥5时，f（x）=x+1+x-5=2x-4，
当-1＜x＜5，f（x）=x+1-x+5=6，
当x≤-1时，f（x）═-x-1-x+5=-2x+4，
即f（x）=

2x-4，x≥5 6，-1＜x＜5 -2x+4，x≤-1

，
则不等式f（x）≤2x等价为：
当x≥5时，f（x）=2x-4≤2x，即-4≤0恒成立，此时x≥5，
当-1＜x＜5时，f（x）=6≤2x，解得x≥3，此时3≤x＜5，
当x≤-1时，f（x）=-2x+4≤2x，即x≥1，此时x无解，
综上不等式的解集为{x|x≥5或3≤x＜5}．
（2）如果关于x的不等式log_a2＜f（x）在R上恒成立，
则只需log_a2＜f（x）_min即可，
∵f（x）=

2x-4，x≥5 6，-1＜x＜5 -2x+4，x≤-1

，
∴函数f（x）的最小值为6，
∴log_a2＜6，
若0＜a＜1，则a⁶＞2，此时不成立．
若a＞1，则a⁶＜2，解得1＜a＜

6	2

，
即实数a的取值范围是1＜a＜

6	2

．

点评：本题主要考查绝对值函数的性质，利用绝对值函数的特点求出函数的最值是解决本题的关键．考查学生的运算能力．