Question

已知函数F（x）=e^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若?x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、(-∞，2

  2

  )
• B、(-∞，2

  2

  ]
• C、(0，2

  2

  ]
• D、(2

  2

  ，+∞)

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性求出g（x），h（x）的表达式，然后将不等式恒成立进行参数分离，利用基本不等式进行求解即可得到结论．

解答： 解：∵F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
∴g（x）+h（x）=e^x，
则g（-x）+h（-x）=e^-x，
即g（x）-h（x）=e^-x，
解得g（x）=

ex+e-x

2

，h（x）=

ex-e-x

2

，
则?x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，
等价为

e2x+e-2x

2

-a?

ex-e-x

2

≥0恒成立，
∴a≤

e2x+e-2x

ex-e-x

=

(ex-e-x)2+2

ex-e-x

=(ex-e-x)+

2

ex-e-x

，
设t=e^x-e^-x，则函数t=e^x-e^-x在[1，2]上单调递增，
∴e-e^-1≤t≤e²-e^-2，
此时 不等式t+

2

t

≥2

t• 2 t

=2

2

，
∴a≤2

2

，
即实数a的取值范围是a≤2

2

，
故选：B．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法，本题使用了基本不等式进行求解最值，综合性较强，运算量较大．