Question

已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC=120°．若

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

，则λ₁+λ₂=

 

．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：通过建立直角坐标系，利用相互垂直的直线斜率之间的关系、外心的性质可得外心O的坐标，再利用向量的坐标运算及其相等即可得出．

解答： 解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （4，0），C（-1，

3

）），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=2 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点(-

1

2

，

3

2

)，∵k_AC=-

3

，
∴得到直线AC的垂直平分线n的斜率k_n=

3

3

．
其方程为：y-

3

2

=

3

3

(x+

1

2

)．化为y=

3

3

x+

2

3

3

．
把x=2代入上述方程可得：y=

4

3

3

．
∴外心O(2，

4 3

3

)．
∵

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

，
∴(2，

4 3

3

)=λ1(4，0)+λ2(-1，

3

)，
∴

2=4λ1-λ2 4 3 3 = 3 λ2

，解得λ2=

4

3

，λ₁=

5

6

．
∴λ₁+λ₂=

13

6

．
故选为：

13

6

．

点评：本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、外心的性质、向量的坐标运算及其相等、平面向量基本定理，属于中档题题．