Question

已知椭圆C的焦点在x轴，焦距为2

3

，F₁，F₂是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求此椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过焦点F₁，斜率为1，交椭圆C于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，且2c=2

3

，2a=4，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题设条件设直线l的方程为y=x+

3

，把y=x+

3

代入

x2

4

+y2=1，由此能求出线段AB的长．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的焦点在x轴，焦距为2

3

，
F₁，F₂是椭圆的左右焦点，
P为椭圆上一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
且2c=2

3

，2a=4，
解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1的左焦点F₁（-

3

，0），
直线l过焦点F₁，斜率为1，
∴直线l的方程为y=x+

3

，
把y=x+

3

代入

x2

4

+y2=1，得：
x2+4(x+

3

)2=4，
整理，得5x2+8

3

x+8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8 3

5

，x₁x₂=

8

5

，
∴线段AB的长|AB|=

(1+1)[(- 8 3 5 )2-4• 8 5 ]

=

8

5

．

点评：本题考查椭圆的简单性质的求法，是中档题，解题时要注意椭圆弦长公式的合理运用．