Question

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
    第一组：f₁（x）=x+1，f₂（x）=2x，h（x）=5x+1；
    第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（2）设f₁（x）=2^x，f₂（x）=（

1

2

）^x，a=1，b=-1，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（3）设f₁（x）=x，f₂（x）=

1

x

（1≤x≤10），取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）建立h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），求解a，b是否存在即可得到结论；
（2）将不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，转化为求函数的最值成立，即可求实数t的取值范围；
（3）求出h（x）的表达式，利用基本不等式求对应函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）第一组：f₁（x）=x+1，f₂（x）=2x，h（x）=5x+1；
若h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
则5x+1=a•（x+1）+2bx=ax+2bx+a=（a+2b）x+a，
则

a=1 a+2b=5

，即

a=1 b=2

，
∴h（x）是分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
若h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
则x²-x+1=a•（x²-x）+b（x²+x+1）=（a+b）x²+（b-a）x+b，
则

b=1 b-a=-1 a+b=1

，即

b=1 a=2 a=0

，此时方程无解，
∴h（x）不是为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（2）设f₁（x）=2^x，f₂（x）=（

1

2

）^x，a=1，b=-1，生成函数h（x）．
则h（x）=f₁（x）-f₂（x）=2^x-（

1

2

）^x，
则h（x）单调递增，
∴当x∈[1，2]时，h（1）≤h（x）≤h（2），
即

3

2

≤h（x）≤

15

4

，
设a=h（x），则

3

2

≤a≤

15

4

，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，
即等价为-t＞3a²+2a，在

3

2

≤a≤

15

4

有解，
设g（a）=3a²+2a，对称轴为a=-

2

2×3

=-

1

3

，
∴g（a）在

3

2

≤a≤

15

4

单调递增，
∴g（a）的最小值为g（

3

2

）=3×（

3

2

）²+2×

3

2

=

27

4

+3=

39

4

，
∴-t＞

39

4

，即t＜-

39

4

∴实数t的取值范围是t＜-

39

4

；
（3）设f₁（x）=x，f₂（x）=

1

x

（1≤x≤10），取a=1，b＞0，
则生成函数h（x）=x+

b

x

，
若h（x）≥b恒成立，
即x+

b

x

≥b，
∴x²-bx+b≥0在1≤x≤10恒成立，
即x²-（x-1）b≥0，
当x=1时，不等式为1≥0成立，
当1＜x≤10时，不等式等价为b≤

x2

x-1

，
∵

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2，
∴当1＜x≤10时，

x2

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2≥2+2

(x-1)? 1 x-1

=2+2=4，
当且仅当x-1=

1

x-1

，即x=2时取等号，
∴b≤4，
即b的取值范围是b≤4．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，本题运算量较大，综合性较强，考查学生的计算能力．