Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，又F(x)=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

，求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，建立方程关系，即可求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）将不等式|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）据题意，

a＞0 - b 2a =-1 a-b+1=0

，得

a=1 b=2

，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
于是F(x)=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²-（-2+1）²=8．
（Ⅱ）a=1，c=0时，f（x）=x²+bx，|x²+bx|≤1在区间（0，1]上恒成立，
等价于-1≤x²+bx≤1对0＜x≤1恒成立，
即

x2+bx≥-1对0＜x≤1恒成立 x2+bx≤1对0＜x≤1恒成立

，
即

b≥- x2+1 x 对0＜x≤1恒成立 b≤ -x2+1 x 对0＜x≤1恒成立

，
在0＜x≤1时，-

x2+1

x

=-(x+

1

x

)在x=1时取最大值-2，
而

-x2+1

x

=

1

x

-x在x=1时取最小值0，
故b≥-2且b≤0，
于是-2≤b≤0．

点评：本题主要考查函数值的计算以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．