Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函数，
（1）求a值，并判断f（x）的单调性（不需证明）；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数，利用f（0）=0，建立方程即可求a值，并判断f（x）的单调性；
（2）利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函数，
∴f(0)=

-1+a

2

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

经验证，f（x）为奇函数，
∴a=1，
函数f（x）为减函数．
（2）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（1），f（x）是减函数，
∴原问题转化为t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立
∴△=4+12k＜0，
得k＜-

1

3

即为所求．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用二次函数和二次不等式之间的关系是解决本题的关键．