Question

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）不等式f（x）≥a²-4a-15恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（-1）=-2可得lgb-lga+1=0①，即

a

b

=10②，由f（x）≥2x恒成立，即x²+x•lga+lgb≥0恒成立，得△=（lga）²-4lgb≤0，联立①消掉a可求得b，代入②即得a．
（2）要使f（x）≥a²-4a-15恒成立，只需a²-4a-15≤f（x）_min，根据二次函数的性质可求得f（x）_min；

解答： 解：（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴

a

b

=10②，
又f（x）≥2x恒成立，有x²+x•lga+lgb≥0恒成立，
故△=（lga）²-4lgb≤0．
将①式代入式得：（lgb）²-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，
故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100．
（2）要使f（x）≥a²-4a-15恒成立，只需a²-4a-15≤f（x）_min，
由（1）知f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3≥-3，
∴a²-4a-15≤-3，解得-2≤a≤6，
故实数a的取值范围是[-2，6]．

点评：本题考查对数运算、函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题常转化为函数最值解决，若为二次函数恒成立，则常结合图象处理．