Question

已知函f（x）=e^x•（cosx-sinx），将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}，记a_n=f（x_n）（n∈N^*），b_n=ln|a_n|．
（1）证明数列{a_n}为等比数列； 
（2）求数列{b_n}的前n项的和；
（3）若c_n=2^n-1•b_n，求数列{c_n}的前n项的和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，推导出由f′（x）=-2sinx=0，得x_n=nπ，n=1，2，3，…从而推导出a_n=（-1）ⁿ•e^nπ，n=1，2，3，由此能够证明{a_n}是等比数列．
（2）由（1）知a_n=（-e）^nπ，由此推导出{b_n}是以π为首项，π为公差等差数列，从而能求出数列{b_n}的前n项的和．
（3）由b_n=nπ，得到c_n=2^n-1•b_n=n•2^n-1•π，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项的和．

解答： （1）证明：∵f（x）=e^x•（cosx-sinx），
∴f′（x）=e^x（cosx-sinx）+e^x（-sinx-cosx）=-2e^xsinx，…（1分）
令f′（x）=0，得f′（x）=-2sinx=0，
解得x=kπ，k∈Z，
∴x_n=nπ，n=1，2，3，…
∴an=f(xn)=enπ•（cosnπ-sinnπ）=（-1）ⁿ•e^nπ，n=1，2，3，…（4分）
∴

an+1

an

=

(-1)n+1e(n+1)π

(-1)n•enπ

=-e^π，且a1=-eπ，
∴{a_n}是以-e^π为首项，以-e^π为公比的等比数列．…（5分）
（2）解：由（1）知a_n=-e^π（-e^π）^n-1=（-e）^nπ，
∴b_n=ln|a_n|=nπ，
∴{b_n}是以π为首项，π为公差等差数列，…（8分）
∴数列{b_n}的前n项的和：
b₁+b₂+…+b_n
=π+2π+…+nπ
=nπ+

n(n-1)

2

π
=

n(n+1)

2

π．…（10分）
（3）解：∵b_n=nπ，
∴c_n=2^n-1•b_n=n•2^n-1•π，
记数列{2^n-1•b_n}的前n项的和为S_n，
则Sn=π+2•2π+3•22π+…+（n-1）•2^n-2π+n•2^n-1π，…（11分）
2S_n=2π+2•2²π+3•2³π+…+（n-1）•2^n-1π+n•2ⁿπ，
两式相减得-S_n=π+2π+2²π+…+2^n-1π-n•2ⁿπ
=

π(1-2n)

1-2

-n•2nπ，…（13分）
∴数列{c_n}的前n项的和Sn=(n•2n-2n+1)π．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，涉及到函数、导数、数列等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意错位相减法的合理运用．