Question

已知奇函数f（x）=a^x-（k+1）a^-x（a＞0且a≠1）的定义域为R．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）=1，令g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），求实数m的取值范围，使得g（x）＞0在[1，+∞）恒成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义和性质，利用f（0）=0，即可求实数k的值；
（2）由f（1）=1，求出a的值，然后根据不等式g（x）＞0在[1，+∞）恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解（1）∵f（x）为奇函数，且定义域为R，
∴f（0）=0，
即a⁰-（k-1）a⁰=0，
解得k=0；
（2）∵f（1）=1，
∴a-

1

a

=1，解得a=

1± 5

2

（舍去负的），
∵g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）=（a^x-a^-x）²-2m（a^x-a^-x）+2，
∴令t=a^x-a^-x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=1，
令h（t）=t²-2mt+2（t≥1），
若m≥1，当则t=m时，h(t)min=2-m2＞0，解得1≤m＜

2

；
若m＜1，当t=1时，h（t）_min=3-2m＞0，解得m＜1，；
综上可知m＜

2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及根据指数函数的性质解决不等式恒成立问题，考查学生的计算能力．