Question

试探求函数f（x）=x²+2ax+1在区间[-1，3]上的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：将函数f（x）进行配方，利用对称轴和区间[-1，3]的关系，分对称轴在区间的左侧、对称轴在区间中间但靠近左侧、对称轴在区间中间但靠近右侧、对称轴在区间右侧四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值域．

解答： 解：∵f（x）=x²+2ax+1=（x+a）²-a²+1．
∴对称轴为x=-a，
①若a＜-1，则f（x）在区间[-1，3]单调递增，
∴当x=-1时，f（x）最小，即f（-1）=2a，当x=3时，f（x）最大，即f（3）=8-2a．
②若a＞3，则f（x）在区间[-1，3]单调递减，
∴当x=3时，f（x）最小，即f（3）=8-2a，当x=-1时，f（x）最大，即f（-1）=2a．
③若-1≤a≤1，则f（x）在区间[-1，3]不单调，
∴当x=a时，f（x）最小，即f（a）=-a²-1，当x=3时，f（x）最大，即f（3）=8-2a．
④若1≤a≤3，则f（x）在区间[-1，3]不单调，
∴当x=a时，f（x）最小，即f（a）=-a²-1，当x=-1时，f（x）最大，即f（-1）=2a．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用对称轴和区间的关系是解决二次函数最值问题的关键．