Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

1

2

，它的一个顶点恰好是抛物线x²=-12y的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=k•x（k＞0）的交点为B、C，求△OBC面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出抛物线的焦点，结合离心率e=

1

2

，及a，b，c的平方关系可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），AB交x轴于点D，由对称性知S_△OAB=2S_△OAD，根据点A在直线OA、椭圆上可用k表示出x₀，从而可把△OAB面积表示为关于k的函数，利用基本不等式即可求得其最大值．

解答： 解：（Ⅰ）抛物线x²=-12y的焦点为（0，-3），∴b=3       …（1分）
又椭圆离心率e=

c

a

=

1

2

，∴a2=9+

1

4

a2，∴a²=12…（2分）
所以椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

9

=1            …（4分）
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀，
设AB交x轴于点D，由对称性知：
S_△OAB=2S_△OAD=2×

1

2

x₀y₀=kx₀²，
由y₀=kx₀，代入椭圆方程，可得x₀²=

36

3+4k2

，
所以S_△OAB=k•

36

3+4k2

=

36

3 k +4k

≤

36

2 3 k •4k

=3

3

，
当且仅当

3

k

=4k，即k=

3

2

时取等号，
所以△OAB面积的最大值为3

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想，解决（Ⅱ）问的关键是把三角形OAB面积表示为函数，正确运用基本不等式是解决基础．