Question

已知f(x)=lg(

4x2+b

+2x)，其中b是常数．
（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；
（2）求证：y=f（x）的图象上不存在两点A、B，使得直线AB平行于x轴．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）+f（-x）=0，化简求得b的值．
（2）设定义域内任意x₁＜x₂，设h(x)=

4x2+b

+2x，用函数的单调性的定义证明h（x）在函数的定义域内是增函数，可得f（x）在定义域内是增函数，从而得出结论．

解答： 解：（1）∵f(x)=lg(

4x2+b

+2x) 是奇函数，
所以对定义域内任意x，都有f（x）+f（-x）=0，即 lg(

4x2+b

+2x)+lg(

4x2+b

-2x)=0，
即 lgb=0，可得b=1．
此时，f(x)=lg(

4x2+1

+x)，为奇函数．   
（2）设定义域内任意x₁＜x₂，设h(x)=

4x2+b

+2x，
∵h(x1)-h(x2)=

4x12+b

+2x1-

4x22+b

-2x2=2[

2x12-2x22

4x12+b + 4x22+b

+x1-x2] 
=2(x1-x2)(

2(x1+x2)

4x12+b + 4x22+b

+1)，
当b≤0时，总有0≤x₁＜x₂，∴0＜

2(x1+x2)

4x12+b + 4x22+b

＜1，可得h（x₁）＜h（x₂）．
当b＞0时，∵x1-x2＜0，

4x12+b

≥2x1，

4x22+b

≥2x2，
∴-1＜

2(x1+x2)

4x12+b + 4x22+b

＜1，得h（x₁）＜h（x₂）．
故总有f（x）在定义域上单调递增，∴y=f（x）的图象上不存在两点，
使得所连的直线与x轴平行．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的单调性的判断和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题