Question

设函数f（x）=x³（x∈R），若0≤θ＜

π

2

时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,转化思想,函数的性质及应用

分析：由给出的幂函数为奇函数，且为实数集上的增函数，把不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0移项变形，借助于函数的奇偶性和单调性转化为msinθ-m＞-1恒成立，分离参数m后，由角θ的范围求得

1

1-sinθ

的最小值，则m的取值范围可求．

解答： 解：∵f（x）=x³（x∈R）为递增函数且为奇函数，
f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立等价于f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
即msinθ＞m-1恒成立，也就是msinθ-m＞-1，m（sinθ-1）＞-1恒成立，
∵0≤θ＜

π

2

，∴-1≤sinθ-1＜0，0＜1-sinθ≤1．
∴m＜

1

1-sinθ

，
∵0＜1-sinθ≤1，∴

1

1-sinθ

的最小值为1，∴m＜0．
∴使f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立的实数m的取值范围是（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，借助于已知函数的奇偶性和单调性转化，考查了分离变量法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．