Question

关于函数f（x）=loga

1+x

1-x

（a＞0且a≠1）下列说法：
①f（x）的定义域是（-1，1）；
②当a＞1时，使f（x）＞0的x的取值范围是（-1，0）；
③对定义域内的任意x，f（x）满足f（-x）=-f（x）；
④当0＜a＜1时，如果0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）＜f（x₂）；
其中正确结论的序号是

 

．（填上你认为正确的所有结论序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,对数函数的定义域,对数函数的值域与最值

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于①，直接由对数式的真数大于0求解分式不等式判断；
对于②，直接由对数式的真数大于1求解x的范围判断；
对于③，在函数解析式中，取x=-x，由对数的运算性质判断；
对于④，根据0＜x₁＜x₂＜1，把两数对应的函数值作差判断．

解答： 解：由

1+x

1-x

＞0，得（x+1）（x-1）＜0，解得：-1＜x＜1，∴f（x）的定义域是（-1，1），命题①正确；
∵a＞1，由f（x）＞0得，

1+x

1-x

＞1，即

1+x

1-x

-1＞0，x（x-1）＜0，解得0＜x＜1，
∴当a＞1时，使f（x）＞0的x的取值范围是（0，1），命题②不正确；
∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，∴命题③正确；
当0＜a＜1时，若0＜x₁＜x₂＜1，则1-x₁x₂+x₂-x₁＞1-x₁x₂+x₁-x₂＞0，
∴f(x1)-f(x2)=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga(

1+x1

1-x1

•

1-x2

1+x2

)=loga

1+x1-x2-x1x2

1+x2-x1-x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）命题④不正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假与应用，考查了函数定义域的求法，训练了函数奇偶性和单调性的判断方法，是中档题．