Question

集合M={1，2…，2014}，若X⊆M，X≠∅，a_x为X中最大数与最小数的和（若集合中只有一个元素，则此元素既为最大数，又为最小数），那么，对M的所有非空子集X，全部a_x的平均值为

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：因为对于M的任一非空子集X={n₁，n₂，n₃，…}，可找出它的对称集X′={2015-n₁，2015-n₂，2015-n₃，…}，
对称集的最大值与最小值的平均数为2015．

解答： 解：对于M的任一非空子集X={n₁，n₂，n₃，…}，可找出它的对称集X′={2015-n₁，2015-n₂，2015-n₃，…}． 
例如：当X={1，2，4，6}，则X′={2014，2013，2011，2009} 
对于M的所有非空子集X和它的对称集X′，分成两种情况：
A）X=X′
B）X≠X′
设X的最大数与最小数分别为max，min 
如果X=X′，则max+min=max+（2015-max）=2015
如果X≠X′，则X′的最大数与最小数分别为2015-min，2015-max，
X与X′中最大数与最小数之和的算术平均数=[（max+min）+（2015-min+2015-max）]÷2=2015
综上，所求的算术平均数也是2015
故答案为：2015

点评：解决集合间的包含关系，应该利用集合关系的定义进行解决．