Question

函数lnx≤xem2-m-1对任意的正实数x恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0]∪[1，+∞）
• B、[0，1]
• C、[e，2e]
• D、（-∞，e）∪[2e，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：lnx≤xem2-m-1可化为

lnx

x

≤em2-m-1，则问题等价于(

lnx

x

)max≤em2-m-1，令f（x）=

lnx

x

，（x＞0），利用导数可求得f（x）的最大值，再解指数不等式可得m的范围．

解答： 解：lnx≤xem2-m-1可化为

lnx

x

≤em2-m-1，
则问题等价于(

lnx

x

)max≤em2-m-1，
令f（x）=

lnx

x

，（x＞0），则f'（x）=

1-lnx

x2

，
当0＜x＜e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
故x=e时，f（x）取得极大值，也为最大值，f（e）=

1

e

，
∴

1

e

≤em2-m-1，则-1≤m²-m-1，解得m≤0或m≥1，
∴实数m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞），
故选：A．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．