Question

已知直线2x+y-4=0过椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，F₁是椭圆E的左焦点，且|MN|=|MF₁|，则椭圆E的方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由直线过椭圆的右焦点，求出c，再由直线2x+y-4=0与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，推导出|MN|=|MF₂|+|MF₁|=|F₂N|=2a，由此能求出椭圆的方程．

解答： 解：∵直线2x+y-4=0与x轴、y轴的交点分别为（2，0）、（0，4），
直线2x+y-4=0过椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂，
∴F₂（2，0），
∴c=2，
∵直线2x+y-4=0与椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1在第一象限的交点为M，
与y轴交于点N，|MN|=|MF₁|，
∴|MF₂|+|MF₁|=|F₂N|=2a，
即a=

1

2

22+42

=

5

，
∴椭圆E的方程为

x2

5

+y2=1．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的简单性质．