Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个顶点为A（a，0）、B（0，b），右焦点为F，且F到直线AB的距离等于F到原点的距离，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件得到直线AB的方程为bx+ay-ab=0，右焦点为F（c，0），由F到直线AB的距离等于F到原点的距离，推导出

b(a-c)

a2+b2

=c，由此能求出椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个顶点为A（a，0）、B（0，b），
∴直线AB的截距式方程为

x

a

+

y

b

=1，
即bx+ay-ab=0，
∵右焦点为F（c，0），
F到直线AB的距离等于F到原点的距离，
∴

|bc+0-ab|

a2+b2

=c，
∵a＞c，∴

b(a-c)

a2+b2

=c，∴

a-c

c

=

a2+b2

b

，
∴

a

c

-1=

( a b )2+1

，∴

a

c

=

( a b )2+1

+1，
∴e=

c

a

=

1

( a b )2+1 +1

，
∵a＞b＞0，∴

a

b

＞1，∴e＜

1

2 +1

=

2

-1，
∵0＜e＜1，∴0＜e＜

2

-1．
∴椭圆离心率的取值范围是（0，

2

-1）．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．