Question

将f(x)=2x-

a

2x

的图象向右平移2个单位后得曲线C₁，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C₂，C₁与C₂关于x轴对称．若F(x)=

f(x)

a

+g(x)的最小值为m且m＞2+

7

，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：根据C₁推出C₂，由C₂推出g（x），再算出F（x）=（

1

a

-

1

4

）•2^x+

4a-1

2x

+2，设t=2^x，利用非单调函数取最值的性质和均值定理能求出实数a的取值范围．

解答： 解：∵将f(x)=2x-

a

2x

的图象向右平移2个单位后得曲线C₁，
∴曲线C₁：p（x）=2^x-2-

a

2x-2

，
∵曲线C₂，C₁与C₂关于x轴对称，
∴曲线C₂：q（x）=

a

2x-2

-2^x-2，
∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C₂，
∴g（x）=

a

2x-2

-2^x-2+2，
∴F(x)=

f(x)

a

+g(x)
=

2x

a

-

1

2x

+

a

2x-2

-2^x-2+2
=（

1

a

-

1

4

）•2^x+

4a-1

2x

+2，
设t=2^x，
∵2^x＞0，∴t＞0，
∵函数定义域的端点值取不到，
∴如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，
也就是说该函数一定不是单调函数，
而对于形如y=ax+

b

x

的函数只有当ab＞0时才是（0，+∞）上的非单调函数，
∴（

1

a

-

1

4

）（4a-1）＞0，
解得a＜0或

1

4

＜a＜4，
当a＜0时，变量t的两个系数都为负数，此时F（x）只有最大值，不合题意．
当

1

4

＜a＜4时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，
∴可以用基本不等式：F（x）≥2

( 1 a - 1 4 )(4a-1)

+2，
∵F(x)=

f(x)

a

+g(x)的最小值为m且m＞2+

7

，
∴m=2

( 1 a - 1 4 )(4a-1)

+2＞2+

7

，
联立

1

4

＜a＜4，解得：

1

2

＜a＜2．
综上所述：实数a的取值范围为（

1

2

，2）．
故答案为：（

1

2

，2）．

点评：本题考查函数中参数的取值范围的求法，涉及到函数图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值定理等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．