Question

对于任意θ∈R，|sinθ-2|+|sinθ-3|≥a+

2

a

恒成立，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：

分析：由sinθ的范围去绝对值后，求出不等式左侧的代数式的范围，再由a+

2

a

小于等于左侧代数式的最小值解分式不等式求得实数a的取值范围．

解答： 解：∵-1≤sinθ≤1，∴sinθ-2＜0，sinθ-3＜0，
则|sinθ-2|+|sinθ-3|=2-sinθ+3-sinθ=5-2inθ，
∴3≤5-2sinθ≤7，
∵对于任意θ∈R，|sinθ-2|+|sinθ-3|≥a+

2

a

恒成立，
∴a+

2

a

≤3，即

a2-3a+2

a

≤0，

(a-1)(a-2)

a

≤0．
由穿根法解得：a＜0或1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是（-∞，0）∪[1，2]．
故答案为：（-∞，0）∪[1，2]．

点评：本题考查正弦函数的值域，考查了去绝对值的方法，训练了分式不等式的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．