Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2=

2

3

an+1+

1

3

an，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：采用特征方程法求解，先求特征方程的解，再设a_n=pt₁ⁿ+qt₂ⁿ，根据a₁=1，a₂=2，即可求a_n．

解答： 解：采用特征方程法求解．
∵a_n+2=

2

3

an+1+

1

3

an，
∴特征方程：t²-

2

3

t-

1

3

=0
解得：t₁=1，t₂=-

1

3

设a_n=pt₁ⁿ+qt₂ⁿ，则
∵a₁=1，a₂=2，
∴a₁=p-

1

3

q=1，a₂=p+

1

9

q=2
解得：p=

7

4

，q=

9

4

，
故有a_n=

7

4

+

9

4

•(-

1

3

)n．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查特征方程法，正确运用特征方程法是关键，此类递推式中，此方法可以推广