Question

7．不等式$\frac{lnx}{x}$-x+c≤0对?x∈（0，+∞）恒成立，则c的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 不等式$\frac{lnx}{x}$-x+c≤0对?x∈（0，+∞）恒成立，转化求解函数的最值，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵不等式$\frac{lnx}{x}$-x+c≤0对?x∈（0，+∞）恒成立，
又当x＞0时，c≤x-$\frac{lnx}{x}$，令g（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，
则g′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，解得x=1，x∈（0，1），函数是减函数，x∈（1，+∞）函数是增函数，
x=1时，函数取得最小值：1．
∴实数c的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．