Question

已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点

试题分析：(Ⅰ)点在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为，且，解方程组可得。（Ⅱ）点在直线上，则可得。当直线的斜率存在时设斜率为，得到直线方程，联立方程消掉得关于的一元二次方程。再根据韦达定理可得根与系数的关系。因为为中点，根据点的横坐标解得。因为故可得直线的斜率，及其含参数的方程。分析可得直线是否恒过定点。注意还要再讨论当直线的斜率不存在的情况。
试题解析：解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，
所以，                   1分
因为椭圆的离心率为，所以，即，    2分
解得，              4分
所以椭圆的方程为.                        5分
（Ⅱ）设，，
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由得， 7分
所以，                             8分
因为为中点，所以，即.
所以，                              9分
因为直线，所以，
所以直线的方程为，即 ，
显然直线恒过定点.                           11分
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线为轴，也过点.                     13分
综上所述直线恒过定点.                       14分