【题目】如图,四棱锥中,
为等边三角形,且平面
平面
,
,
,
.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若直线与平面
所成角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)取的中点为
,连接
,
,结合条件可证得
平面
,于是
,又
,故可得
.(Ⅱ)由题意可证得
,
,
两两垂直,建立空间直角坐标系,通过求出平面
和平面
的法向量可求解本题.
试题解析:
证明:(Ⅰ)取的中点为
,连接
,
,
∵为等边三角形,
∴.
在底面中,可得四边形
为矩形,
∴,
∵,
∴平面
,
∵平面
,
∴.
又,
∴.
(Ⅱ)∵平面面
,
,
∴平面
,
由此可得,
,
两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系
.
∵直线与平面
所成角为
,即
,
由,知
,得
.
则,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
.
由,得
.
令,则
.
设平面的一个法向量为
,
由,得
.
令,则
,
∴
,
由图形知二面角为钝角,
∴二面角的余弦值为
.
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【题目】设函数f (x)=ln x-x+1.
(1)讨论函数f (x)的单调性;
(2)证明当x∈(1,+∞)时, ;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有5个小球,小球上分别写有0,1,2,3,4的数字,小球除数字外其它完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.抽奖活动的奖励规则是:①若取出的两个小球上数字之积大于8,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于2,则奖励饮料一瓶.
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.
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【题目】某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,其左焦点与抛物线
的焦点重合.
(1)求椭圆的方程;
(2)过动点的直线交
轴于点
,交椭圆
于点
,
在第一象限,
,过点
做
轴的垂线交椭圆
于点
,连接
并延长交椭圆
于另一点
.设直线
的斜率分别为
,证明:
为定值.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
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