Question

3．函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）cos（x+\frac{π}{6}）$，给出下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）的最小正周期为 $\frac{π}{2}$
• B． f（x）的一条对称轴为$x=\frac{π}{6}$
• C． f（x）的一个对称中心为$（\frac{π}{6}，0）$
• D． $f（x-\frac{π}{6}）$是奇函数

Answer 1

分析 化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期T，判断出A错误；
把x=$\frac{π}{6}$代入2x+$\frac{π}{3}$中计算，根据正弦函数图象的对称性，判断出B、C错误；
化简f（x-$\frac{π}{6}$），得出f（x-$\frac{π}{6}$）是定义域R上的奇函数，判断出D正确．

解答 解：函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）cos（x+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，A错误；
又当x=$\frac{π}{6}$时，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x=$\frac{π}{6}$不是f（x）的对称轴，B错误；
同理x=$\frac{π}{6}$时，2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$≠kπ，k∈Z，
∴（$\frac{π}{6}$，0）不是f（x）的对称中心，C错误；
又f（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin2x，
∴f（x-$\frac{π}{6}$）是定义域R上的奇函数，D正确．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．