Question

设命题p：关于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一个根大于零，另一根小于零；命题q：不等式2x²+x＞2+ax对?x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：对于命题P：令f（x）=x²+（a+1）x+a-2，由于关于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一个根大于零，另一根小于零，可得f（0）＜0；对于命题q：由于x∈（-∞，-1），由不等式2x²+x＞2+ax可得：a＞2x-

2

x

+1，利用函数的单调性即可得出a的取值范围；由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得P与q必然一真一假．

解答： 解：对于命题P：令f（x）=x²+（a+1）x+a-2，
∵关于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一个根大于零，另一根小于零，
∴f（0）＜0，即：a-2＜0，解得：命题p为真时a＜2；
对于命题q：∵x∈（-∞，-1），由不等式2x²+x＞2+ax可得：a＞2x-

2

x

+1，
令g(x)=2x-

2

x

+1，由g（x）在（-∞，-1）上单调递增，故g（x）∈（-∞，1）．
又不等式2x²+x＞2+ax对?x∈（-∞，-1）上恒成立，∴命题q为真时a≥1．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴P与q必然一真一假．
若p真q假，得a＜1；
若p假q真，得a≥2．
综上可得：a＜1或a≥2．

点评：本题考查了函数的零点、恒成立问题等价转化方法、函数的单调性、复合命题的真假判断方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．