Question

数列{a_n}（n∈N）中，a₁=0，当3a_n＜n²时，a_n+1=n²，当3a_n＞n²时，a_n+1=3a_n，求a₂，a₃，a₄，a₅，猜测数列的通项公式a_n并证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先由递推公式分别求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，猜测数列的通项a_n，再用数学归纳法证明即可．

解答： 解：当a=0时，a₁=0，则3a₁＜1，知a₂=1，
因为3a₂=3＜22，由数列{a_n}定义知a₃=4．
因为3a₃=12＞9，由数列定义知a₄=3a₃=12．
又因为3a₄=36＞16，由定义知a₅=3a₄=36由此猜测：当n≥3时，a_n=4×3^n-3； 6分
下面用数学归纳法去证明：当n≥3时，3an＞n2．
当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3a_k＞k²成立．则由数列{a_n}定义知a_k+1=3a_k＞k²，
从而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0．
所以3a_k+1＞（k+1）²，即当n=k+1（k≥3）时，3a_k+1＞（k+1）²成立．
故当n≥3时，3a_n＞n²，a_n+1=3a_n．
而a₃=4．因此a_n=4×3^n-3.11分
综上所述，当a=0时，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（ n≥3）（12分）

点评：本题考查推理与证明、数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．