Question

已知递增的等比数列{a_n}中，且a₂=4，a₆=64．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）求n•2ⁿ⁺¹-T_n＞50成立的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知求出等比数列的公比，然后直接代入an=amqn-m求数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_nlog₂a_n，整理后由错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）把T_n代入n•2ⁿ⁺¹-T_n＞50，求解指数不等式得到最小正整数n的值．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂=4，a₆=64，得q4=

a6

a2

=

64

4

=16，
解得：q=±2．
∵数列{a_n}是递增等比数列，
∴q=2．
∴an=a2qn-2=4×2n-2=2n；
（2）b_n=a_nlog₂a_n=2nlog22n=n•2n．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ ①
2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1 ②
①-②得：-Tn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴Tn=(n-1)•2n+1+2；
（3）由n•2ⁿ⁺¹-T_n＞50，得n•2ⁿ⁺¹-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2＞50，
整理得：2ⁿ⁺¹＞52．
∴最小正整数n的值是5．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，训练了数列不等式的解法，是中档题．