Question

设函数f（x）=

x2-x+1

x

的值域是集合A，函数g（x）=lg[x²-（a+1）²x+a（a²+a+1）]的定义域是集合B，其中a是实数．
（1）分别求出集合A、B；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：并集及其运算,函数的定义域及其求法

专题：集合

分析：（1）根据函数定义域和值域的求法分别求出集合A、B；
（2）若A∪B=B，则A⊆B，根据集合关系，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由f（x）=

x2-x+1

x

=x+

1

x

-1知，
当x＞0时，f（x）=x+

1

x

-1≥2

x• 1 x

-1=2-1=1，
当x＜0时，f（x）=x+

1

x

-1=-（-x-

1

x

）-1≤-2

-x•(- 1 x )

-1=-2-1=-3，
即A=（-∞，-3]∪[1，+∞）．
由x²-（a+1）²x+a（a²+a+1）=（x-a）[x-（a²+a+1）]＞0，解得得x＜a或x＞a²+a+1，
即B=（-∞，a）∪（a²+a+1，+∞）．
（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，
则有

a≥-3 a2+a+1≤1

，即

a≥-3 -1≤a≤0

，
解得-≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0]．

点评：本题主要考查函数定义域和值域的求解，以及集合关系的基本应用，考查学生的运算能力．