Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且2a_n-1=S_n，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=n-

n

2n

，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式确定出数列为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）由递推式

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=n-

n

2n

结合数列{a_n}的通项公式求得{b_n}的通项公式，分组后由等差数列好等比数列的前n项和得答案．

解答： 解：（1）当n=1时，2a₁-1=S₁=a₁，解得a₁=1．
当n＞1时，a_n=s_n-s_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
则an=2n-1；
（2）当n=1时，

b1

a1

=

1

2

，∴b1=

1

2

．
当n＞1时，由

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

=n-

n

2n

，得

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn-1

an-1

=n-1-

n-1

2n-1

，
∴

bn

an

=n-

n

2n

-(n-1-

n-1

2n-1

)=1+

n-2

2n

．
∵an=2n-1，
∴bn=2n-1+

n-2

2

，
又当n=1时符合该式，
∴bn=2n-1+

n-2

2

，n∈N*．
∴Tn=20+

-1

2

+21+

0

2

+…+2n-1+

n-2

2

，
即Tn=

1-2n

1-2

+

n(- 1 2 + n-2 2 )

2

=2n-1+

n2

4

-

3n

4

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．