Question

已知函数f（x）=x²（x＞0），设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N^*），其中x₁=1
（1）求证数列{x_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）令b_n=n•x_n，是否存在最小的正整数M，使得对任意n∈N^*，都有b₁+b₂+b₃+…+b_n＜M恒成立？若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数研究曲线上某点切线方程,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得f′（x）=2x，x＞0，f（x_n）=xn2，在点（x_n，f（x_n））处的切线方程为l_n：y-xn2=2x_n（x-x_n），xn+1=

1

2

xn，n∈N^*，由此能证明数列{x_n}是以x₁=1为首项，以q=

1

2

为公比的等比数列，通项公式为x_n=

1

2n-1

，n∈N^*．
（2）由b_n=

2n

2n

利用错位相减法能求出b₁+b₂+b₃+…+b_n＜4恒成立．

解答： （1）证明：∵函数f（x）=x²（x＞0），
∴f′（x）=2x，x＞0，f（x_n）=xn2，
∴在点（x_n，f（x_n））处的切线的方程为l_n：y-xn2=2x_n（x-x_n），
令y=0，得x=

1

2

xn，
即它与x轴的交点为（

1

2

xn，0），∴xn+1=

1

2

xn，n∈N^*，
∵x₁=1≠0，∴x_n≠0，且

xn+1

xn

=

1

2

，n∈N^*，
∴数列{x_n}是以x₁=1为首项，以q=

1

2

为公比的等比数列，
其通项公式为x_n=

1

2n-1

，n∈N^*．
（2）解：由（1）知b_n=

2n

2n

，（n∈N^*），
设S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
则Sn=2×(

1

2

)+4×(

1

2

)2+…+2n•(

1

2

)n，①

1

2

Sn=2×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+2n×(

1

2

)n+1，②
①-②，得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∴S_n=4-

n+2

2n-1

＜4．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜4恒成立，
M=4．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．